6.3 ベイズ定理 | 情報数学入門

検査で陽性と出た。本当に病気である確率は？直感的な答えはしばしば間違う。ベイズ定理は、新しい証拠に基づいて信念を正しく更新する方法を教えてくれる。スパムフィルタの「この単語があるからスパム」も、医療診断も、本質は同じ数学である。

ベイズ定理事前確率事後確率尤度ベイズ推論

ベイズ定理

ベイズ定理（Bayes' Theorem）

P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)

または

事後確率 = 尤度 × 事前確率 / 周辺尤度

病気の有病率 1%、検査の感度 99%、特異度 95% のとき、陽性と出た人が実際に病気である確率は？

直感：「99%正確だから90%以上？」→ 実際は約17%

計算：

P(病気|陽性) = P(陽性|病気)×P(病気) / P(陽性)

= 0.99 × 0.01 / (0.99×0.01 + 0.05×0.99)

≈ 0.17

有病率（事前確率）が低いと、陽性でも実際に病気である確率は低い。これを「基準率の無視」の問題という。

ベイズ推論の流れ

1. 事前分布を設定（既存の知識・信念）

2. データを観測

3. ベイズ定理で事後分布を計算

4. 事後分布が新たな事前分布に（信念の更新）

スパムフィルタ：ナイーブベイズ分類器。特定の単語からスパム確率を計算。

レコメンデーション：ユーザーの行動から嗜好を推定。

A/Bテスト：ベイズ的A/Bテストで確率的な判断。

ベイズ最適化：ハイパーパラメータ探索の効率化。

確率的プログラミング：PyMC、Stan などで複雑なベイズモデル。

不確実性の推定：モデルの予測に信頼区間を付ける。

転移学習：事前学習済みモデルを事前分布として活用。