3.2 合成と逆関数 | 情報数学入門

関数を連鎖させる。f の出力を g の入力にする。このシンプルな操作が、パイプライン処理、ミドルウェア、データ変換の基盤になっている。そして逆関数は、暗号化と復号、エンコードとデコードという対の関係を数学的に表現する。

合成関数逆関数パイプライン結合法則

合成関数

合成関数（Composition）

f: A → B, g: B → C のとき

(g ∘ f)(x) = g(f(x))

fを適用してから g を適用する。

注意：記号の順序（g ∘ f）と適用順序（f → g）は逆。

合成関数は結合法則を満たす。

結合法則（Associativity）

(h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f)

どの順序でグループ化しても結果は同じ。

→ パイプラインの分割・統合が自由にできる。

逆関数（Inverse Function）

f: A → B の逆関数 f⁻¹: B → A は

f⁻¹(f(x)) = x かつ f(f⁻¹(y)) = y

を満たす関数。

逆関数が存在する条件：f が全単射であること。

単射でない関数には逆関数が存在しない。例えば f(x) = x² は、f(2) = f(-2) = 4 なので、4 から元の値を一意に決定できない。

ハッシュ関数は意図的に逆関数を持たないよう設計されている（一方向関数）。

ミドルウェア：Express.js などのミドルウェアチェーンは関数の合成。

パイプライン：データ処理の各ステップを関数として連鎖。

エンコード/デコード：JSON.stringify/parse、encodeURI/decodeURI は逆関数の対。

変換の取り消し：Undo機能は逆関数の適用。

ニューラルネットワーク：層の連鎖は関数の合成。深層 = 多段合成。

正規化/逆正規化：前処理と後処理は逆関数の関係。

Autoencoder：エンコーダとデコーダは（近似的な）逆関数の対。

可逆ネットワーク：正確な逆関数を持つ特殊なアーキテクチャ。