3.1 写像の基礎 | 情報数学入門

「入力を受け取り、出力を返す」という関数の概念は、数学でもプログラミングでも同じ。しかし数学の関数には「全射」「単射」「逆関数」といった性質がある。これを知ると、なぜmap/filterが便利なのか、なぜハッシュ関数は一方通行なのかが見えてくる。

写像関数定義域値域全射単射

写像とは

写像（mapping）または関数（function）とは、ある集合の各要素に対して、別の集合の要素を一意に対応させる規則である。

写像の定義

f: A → B

集合Aの各要素aに対して、集合Bの要素f(a)がただ一つ定まる。

・A：定義域（domain）

・B：終域（codomain）

・f(A)：値域（range, image）= 実際に出力される値の集合

プログラミングの関数と数学の関数の違い：数学では同じ入力には必ず同じ出力（純粋関数）。プログラミングでは副作用があり得る。

単射（one-to-one）

異なる入力には異なる出力が対応する。

f(a₁) = f(a₂) ならば a₁ = a₂

例：f(x) = 2x は単射。f(x) = x² は単射でない（f(2) = f(-2) = 4）

全射（onto）

終域のすべての要素が、少なくとも1つの入力から到達可能。

値域 = 終域

例：f: ℝ → ℝ, f(x) = x³ は全射。f(x) = x² は全射でない（負の数に到達不可）

全単射（one-to-one correspondence）

単射かつ全射。1対1の完全な対応。

逆写像が存在する。

例：f(x) = 2x + 1 は全単射。逆関数 f⁻¹(y) = (y-1)/2

ハッシュ関数：多対1の写像（単射でない）。異なる入力が同じ出力になりうる（衝突）。

エンコーディング：Base64は全単射。デコードで元に戻せる。

ID採番：データベースのシーケンスは単射。重複しない。

URLルーティング：パス→コントローラの対応は関数。

活性化関数：ReLU、Sigmoid、tanh などは写像。入出力の性質が重要。

エンベディング：高次元空間への写像。単語→ベクトル。

次元削減：高次元→低次元の写像。全射でないことが多い（情報の損失）。