6.2 確率分布 | 情報数学入門

データには形がある。身長は釣鐘型、サイト訪問数は右に裾を引く。この「形」を数式で表現したものが確率分布。正規分布、ポアソン分布、ベルヌーイ分布。それぞれが異なる現象を記述する道具である。

確率分布期待値分散正規分布離散・連続

確率変数と確率分布

確率変数（Random Variable）

結果を数値で表す変数。

例：サイコロの目 X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

確率分布（Probability Distribution）

確率変数が各値をとる確率の全体像。

離散：確率質量関数 P(X = x)

連続：確率密度関数 f(x)

期待値（Expected Value）E[X]

確率変数の「平均的な値」。

離散：E[X] = Σ x·P(X=x)

連続：E[X] = ∫ x·f(x)dx

分散（Variance）Var(X)

期待値からのばらつき。

Var(X) = E[(X - E[X])²] = E[X²] - (E[X])²

標準偏差 σ = √Var(X)

正規分布（Gaussian Distribution）

f(x) = (1/√(2πσ²)) exp(-(x-μ)²/(2σ²))

別名：ガウス分布。釣鐘型の対称な分布。

中心極限定理：多くの独立な変数の和は正規分布に近づく。

アクセス解析：PV数はポアソン分布でモデル化。

負荷テスト：レスポンス時間の分布を分析。

異常検知：正規分布からの外れ値を検出。

出力層：分類はカテゴリカル、回帰は正規分布を仮定。

重み初期化：正規分布や一様分布からサンプリング。

VAE：潜在空間を正規分布でモデル化。

ドロップアウト：ベルヌーイ分布でマスク生成。