2.1 剰余演算 | 情報数学入門

12時の次は13時ではなく1時。この「あまり」の概念が、ページネーションからハッシュ分散まで、あらゆる場面で使われている。modは地味だが、最も実用的な数学かもしれない。

剰余演算 mod 合同式周期性

剰余演算とは

剰余演算（modular arithmetic）は、ある数を別の数で割ったときの「あまり」を求める演算である。数学では「mod」、プログラミングでは「%」演算子で表されることが多い。

剰余演算

a mod n = r

aをnで割ったときの余りがr（0 ≤ r < n）

例：17 mod 5 = 2（17 = 5 × 3 + 2）

数学では、同じ余りを持つ数を「合同」という。

合同式（Congruence）

a ≡ b (mod n)

「aとbはnを法として合同」

aとbをnで割った余りが等しいことを意味する。

例：17 ≡ 2 (mod 5)、17 ≡ 7 (mod 5)

剰余演算には便利な性質がある。

剰余演算は「時計算術」とも呼ばれる。12時間制の時計では、13時は1時、25時は1時になる。これは mod 12 の演算に他ならない。

この周期的な性質が、プログラミングで非常に役立つ。

ページネーション：総件数 ÷ ページサイズの余りで最終ページの件数を計算。

配列の循環アクセス：index % array.length で配列を循環的にアクセス。カルーセルUIなど。

ハッシュ分散：hash(key) % bucket_count でデータを分散配置。

ストライプパターン：index % 2 で偶数行/奇数行のスタイル切り替え。

時間計算：秒 → 時分秒の変換。60秒 = 1分、60分 = 1時間。

ミニバッチ処理：データセットをバッチサイズで分割する際の端数処理。

周期的特徴量：曜日、月、時刻などの周期的データのエンコーディング。

分散処理：データをワーカー間で均等に分配する際のmod演算。

負の数の剰余演算は、言語によって結果が異なる。

負の数を扱う場合は、言語の仕様を確認するか、((a % n) + n) % n のように常に正にする工夫が必要。