4.1 ベクトル | 情報数学入門

AIが「理解」しているのは、すべて数値の配列。言葉も画像も、ベクトルという矢印に変換される。ベクトル同士の近さを測り、方向を比較し、高次元空間で操作する。線形代数は、AIの「思考」の言語そのものである。

ベクトルスカラー内積ノルムコサイン類似度

ベクトルとは

ベクトル（Vector）

大きさと方向を持つ量。数学的には、順序付けられた数の組（配列）。

v = (v₁, v₂, ..., vₙ) または列ベクトルとして表記。

n次元ベクトル空間 ℝⁿ の要素。

プログラミングでは配列やリストとして表現される。[1, 2, 3] は3次元ベクトル。

ベクトルの各成分に同じ数（スカラー）を掛ける。

2 × (1, 2, 3) = (2, 4, 6)

ベクトルの長さが変わる（方向は同じか逆）。

対応する成分同士を足す。

(1, 2) + (3, 4) = (4, 6)

ノルム（Norm）

ベクトルの「大きさ」を測る関数。

L2ノルム（ユークリッドノルム）：||v|| = √(v₁² + v₂² + ... + vₙ²)

L1ノルム（マンハッタン距離）：||v||₁ = |v₁| + |v₂| + ... + |vₙ|

内積（Dot Product / Inner Product）

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ

または a · b = ||a|| ||b|| cos θ

θはベクトル間の角度。

結果はスカラー（1つの数値）。

内積の意味：

コサイン類似度（Cosine Similarity）

cos θ = (a · b) / (||a|| ||b||)

-1 〜 1 の値を取る。

1: 完全に同じ方向、0: 直交、-1: 完全に逆方向

コサイン類似度は、ベクトルの大きさに依存せず、方向だけを比較する。文書やユーザーの類似度計算でよく使われる。

2D/3D座標：位置、速度、加速度はベクトル。ゲーム開発の基礎。

カラー空間：RGB = 3次元ベクトル。色の距離を計算可能。

レコメンデーション：ユーザーの嗜好ベクトルと商品ベクトルの類似度。

単語埋め込み（Word Embedding）：Word2Vec, GloVe。「王 - 男 + 女 = 女王」のベクトル演算。

画像ベクトル：画像を固定長ベクトルに変換。類似画像検索。

特徴量ベクトル：機械学習の入力はすべてベクトル化される。

埋め込み空間：意味的に近いものが近くに配置される高次元空間。