4.2 行列演算 | 情報数学入門

行列はベクトルを変換する。回転、拡大縮小、射影。これらの操作が、数値の長方形の配列で表現できる。ニューラルネットワークの各層は、本質的には行列とベクトルの積である。AIを理解するには、行列を理解する必要がある。

行列線形変換行列積転置逆行列

行列とは

行列（Matrix）

数を長方形に並べたもの。m×n行列は m 行 n 列。

A = [[a₁₁, a₁₂], [a₂₁, a₂₂]]

ベクトルの集まり、または線形変換の表現と見なせる。

同じサイズの行列同士、対応する要素を足す。

すべての要素に同じ数を掛ける。

行列積

A (m×n) × B (n×p) = C (m×p)

Cᵢⱼ = Σₖ Aᵢₖ Bₖⱼ

Aの列数とBの行数が一致する必要がある。

注意：AB ≠ BA（一般に交換法則は成り立たない）

転置行列 Aᵀ

行と列を入れ替える。

(Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ

性質：(AB)ᵀ = BᵀAᵀ

行列 A にベクトル x を掛けると、新しいベクトル y = Ax が得られる。これは x を線形変換したもの。

ニューラルネットワークの1層：y = Wx + b

W: 重み行列、x: 入力、b: バイアス、y: 出力

逆行列（Inverse Matrix）

AA⁻¹ = A⁻¹A = I となる行列 A⁻¹

存在条件：正方行列で行列式 ≠ 0（正則行列）

用途：連立方程式 Ax = b の解 x = A⁻¹b

CSS Transform：translate, rotate, scale は行列で表現される。

3Dグラフィックス：ビュー行列、射影行列、モデル行列。

画像処理：畳み込みフィルタは行列演算。

全結合層：入力ベクトルに重み行列を掛ける。

Attention：Query, Key, Value の行列演算。

バッチ処理：複数サンプルを行列として一括処理。GPUで高速化。

共分散行列：特徴量間の関係を表す。PCAの基盤。