2.3 浮動小数点 | 情報数学入門

0.1 + 0.2 は 0.3 ではない。少なくともコンピュータの世界では。この奇妙な現象は、浮動小数点数という数の表現方法に起因する。無限の小数を有限のビットで表現しようとする試みには、必然的に誤差がつきまとう。

浮動小数点 IEEE 754 精度丸め誤差

なぜ浮動小数点が必要か

整数だけでは、0.5 や 3.14 といった値を表現できない。かといって、すべての小数を正確に表現するには無限のメモリが必要になる。浮動小数点は、有限のビット数で実数を「近似的に」表現する方法である。

現代のほぼすべてのコンピュータは、IEEE 754 という規格に従って浮動小数点数を表現する。

IEEE 754 の構造

浮動小数点数 = (-1)^符号 × 仮数部 × 2^指数部

・符号部（sign）：正負を表す1ビット

・指数部（exponent）：2の何乗かを表す

・仮数部（mantissa/fraction）：有効数字を表す

型	ビット数	符号	指数	仮数	有効桁数（10進）
単精度（float）	32	1	8	23	約7桁
倍精度（double）	64	1	11	52	約15桁

10進数の 0.1 は、2進数では無限小数になる（0.0001100110011...）。これを有限ビットで打ち切るため、誤差が生じる。

有名な例：0.1 + 0.2

JavaScriptで 0.1 + 0.2 を計算すると...

結果：0.30000000000000004

0.3 とは等しくない。

IEEE 754 は、通常の数以外にも特殊な値を定義している。

NaNの特徴：NaN == NaN は false。自分自身と等しくない唯一の値。

浮動小数点の等値比較は、許容誤差（epsilon）を使う。

Math.abs(a - b) < epsilon

金額計算では、円ではなく「銭」単位の整数で扱う。1234円50銭 → 123450（整数）

任意精度演算が必要な場合は、BigDecimal（Java）、Decimal（Python）などを使用。

金額計算：浮動小数点を避け、整数（最小単位）で計算。表示時に変換。

座標計算：地図APIでの緯度経度は倍精度が必要。

アニメーション：累積誤差に注意。フレーム間の差分で計算。

勾配消失/爆発：極端に小さい/大きい値が累積する問題。

半精度（FP16）：メモリ節約のため16ビット浮動小数点を使用。精度とのトレードオフ。

正規化：数値を一定範囲に収めて、精度を保つ。