1. 標本空間と事象：集合論による確率の土台

1.1 標本空間とは何か

確率論において、標本空間（sample space）とは、ある試行において起こりうるすべての結果を集めた集合である。記号ではギリシャ文字のΩ（オメガ）で表記されることが多い。

具体例として、1個のサイコロを1回振る試行を考える。このとき、出る目は1から6のいずれかであるため、標本空間は次のように定義される。

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

同様に、コインを1回投げる試行では、表（H: Head）か裏（T: Tail）のいずれかが出るため、標本空間は次のようになる。

Ω = {H, T}

標本空間の各要素は標本点（sample point）または根元事象と呼ばれる。標本空間を正しく設定することが、確率計算の第一歩となる。

1.2 事象の定義と分類

事象（event）とは、標本空間Ωの部分集合である。直感的には「起こりうる結果のグループ」と理解できる。

サイコロの例で具体的な事象を挙げると、以下のようになる。

事象には特別な名前を持つものがある。標本空間Ω全体は全事象（certain event）と呼ばれ、必ず起こる事象を表す。空集合∅は空事象（impossible event）と呼ばれ、決して起こらない事象を表す。また、要素が1つだけの事象は根元事象（elementary event）と呼ばれる。

1.3 事象の演算

事象は集合であるため、集合演算を適用できる。これにより、複数の事象を組み合わせた新しい事象を構成できる。

和事象 A∪B は「AまたはBが起こる」ことを意味する。積事象 A∩B は「AかつBが起こる」ことを意味する。余事象 A^c は「Aが起こらない」ことを意味し、Ω＼Aとも書かれる。

サイコロの例において、B = {2, 4, 6}（偶数）、C = {4, 5, 6}（4以上）とすると、B∩C = {4, 6} は「偶数かつ4以上」すなわち4または6が出る事象となる。

1.4 σ-加法族：測れる事象の集まり

有限の標本空間では、すべての部分集合を事象として扱っても問題は生じない。しかし、連続的な値を取る試行（例：ダーツの着地点、待ち時間の長さ）では、標本空間が無限集合となり、すべての部分集合を事象として扱うと数学的な矛盾が生じる場合がある。

この問題を回避するため、事象として認める部分集合の「良い」族を定義する。これがσ-加法族（sigma-algebra）である。σ-加法族 F は以下の三条件を満たす部分集合の族として定義される。

第一に、Ω ∈ F である（全事象を含む）。第二に、A ∈ F ならば A^c ∈ F である（補集合について閉じている）。第三に、A₁, A₂, A₃, ... ∈ F ならば ∪Aₙ ∈ F である（可算個の和について閉じている）。

2. 確率測度：「確からしさ」を数値化する仕組み

2.1 確率の直感的理解から公理へ

日常的に「確率」という言葉を使うとき、それは「どのくらい起こりやすいか」という直感的な概念を指している。サイコロで1の目が出る確率は1/6であり、コイン投げで表が出る確率は1/2である。これらの値はどのように導かれるのだろうか。

歴史的には、ラプラスによる古典的確率の定義がある。「確率 = 有利な場合の数 ÷ 起こりうるすべての場合の数」という定義である。この定義は直感的で分かりやすいが、「すべての場合が同様に確からしい」という前提が必要であり、また無限の標本空間には適用できない。

20世紀になり、コルモゴロフは確率を公理的に定義することで、これらの限界を克服した。確率測度（probability measure）とは、σ-加法族上で定義される関数 P であり、以下の公理を満たすものである。

2.2 コルモゴロフの公理

確率測度 P: F → [0, 1] は次の三つの公理を満たす。

これらの公理から、確率の基本的な性質がすべて導かれる。例えば、P(∅) = 0（空事象の確率は0）、P(A^c) = 1 - P(A)（余事象の確率）、A ⊂ B ならば P(A) ≤ P(B)（単調性）などである。

2.3 加法性の直感的理解

公理3の加法性は、確率測度の最も重要な性質である。「排反」とは、同時に起こりえないことを意味する。すなわち、A∩B = ∅ のとき、AとBは排反であるという。

サイコロの例で考える。A = {1, 2}（1または2が出る）、B = {3, 4}（3または4が出る）とすると、AとBは排反である。このとき、P(A∪B) = P({1,2,3,4}) = 4/6 であり、これは P(A) + P(B) = 2/6 + 2/6 = 4/6 に等しい。

2.4 確率測度の例

具体的な確率測度の構成方法を見る。有限標本空間 Ω = {ω₁, ω₂, ..., ωₙ} において、各根元事象に非負の値 p₁, p₂, ..., pₙ を割り当て、それらの和が1になるようにすれば、確率測度が定まる。

3. 確率空間の構成：具体例による総合理解

3.1 確率空間の定義

ここまでの概念を統合すると、確率空間（probability space）が定義される。確率空間は三つ組 (Ω, F, P) として表現され、それぞれ標本空間、σ-加法族、確率測度を指す。

確率論における問題を厳密に扱うためには、まず確率空間を明確に設定することが必要である。これにより、「確率」という曖昧な概念が数学的に扱える対象となる。

3.2 離散確率空間：サイコロを2回振る

サイコロを2回振る試行の確率空間を構成する。1回目の目を第一成分、2回目の目を第二成分とする順序対を考える。

標本空間は Ω = {(i, j) : i, j ∈ {1,2,3,4,5,6}} であり、36個の要素を持つ。σ-加法族 F はΩのべき集合（2³⁶ 個の部分集合を含む）とする。確率測度は各根元事象に P({(i,j)}) = 1/36 を割り当てる。

この確率空間において、「目の和が7になる」という事象 A を考える。

A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

Aは6個の根元事象から成るため、加法性より P(A) = 6 × (1/36) = 1/6 となる。

3.3 連続確率空間：ルーレットの例

0から1の間の値を一様にランダムに選ぶ試行を考える。これは連続確率空間の典型例である。

標本空間は Ω = [0, 1]（閉区間）である。σ-加法族はボレル集合族 B([0,1]) とする。これは開区間、閉区間、それらの可算個の和や積などを含む族である。確率測度は区間の長さに等しくなるよう定める。すなわち、P([a, b]) = b - a である。

この設定において、「選ばれた値が0.3以上0.7以下である」確率は P([0.3, 0.7]) = 0.7 - 0.3 = 0.4 となる。

3.4 確率計算の実践

確率空間が設定されれば、事象の確率計算が体系的に行える。以下に代表的な計算パターンを示す。

3.5 なぜこの形式化が必要か

最後に、なぜ標本空間・事象・確率測度という形式化が必要なのかを整理する。

第一に、曖昧さの排除がある。「サイコロを振る」という試行でも、「1個のサイコロを1回振る」のか「2個同時に振る」のかで標本空間が異なる。形式化により、問題設定が明確になる。

第二に、一般化の可能性がある。有限の場合、連続の場合、さらには抽象的な場合まで、同じ枠組みで扱える。確率論の理論を統一的に展開できる。

第三に、厳密な推論の基盤となる。公理から出発することで、確率に関するあらゆる定理を論理的に導出できる。直感に頼った議論の誤りを防げる。