1. 小学生でも分かる：2倍ずつ増える不思議

折り紙を何度も折ると？

折り紙を思い浮かべてください。1枚の紙を半分に折ると、厚さは2倍になります。もう一度折ると、また2倍になって厚さは4倍。もう一度折ると8倍…というように、折るたびに厚さが2倍、2倍、2倍と増えていくのです。

では、折り紙を10回折ったら、厚さは何倍になるでしょう？

わずか10回折っただけで、1 mmの紙が1メートル近くになってしまいます。これが「2倍ずつ増える不思議さ」です。

毎日のお小遣いが倍になったら？

別の例を考えてみましょう。今日もらったお小遣いが100円だったとします。もし明日200円、その次の日400円…と毎日倍になるとしたら？

10日間でもらえたお金の合計は？1日目から10日目までのお金をすべて足すと…

100 + 200 + 400 + 800 + 1,600 + 3,200 + 6,400 + 12,800 + 25,600 + 51,200 = 102,300円

計算するのは大変ですよね。しかし、数学者たちが考えた「かしこい計算方法」があります。それが今から学ぶ「等比数列の和の公式」です。

順から足す方法と逆から足す方法

100円、200円、400円…と足していくことは大変ですが、もし逆から足すと？ここで重要な工夫が生まれます。

順から足す：100 + 200 + 400 + 800 + ...

逆から足す：51,200 + 25,600 + 12,800 + 6,400 + ...

この2つを縦に足すと、特定のパターンが現れます。中学生向けの説明では、この工夫を数学的に表現します。

2. 中学生向け：数で表す等比数列

等比数列とは何か

等比数列とは、「隣同士の数の関係が同じ」な数列のことです。小学生の例では、「毎回2倍になる」が「隣同士の関係」でした。

例えば、2, 6, 18, 54, 162... という数列を見てください。それぞれの比を調べると：

• 2から6へ：2 × 3 = 6
• 6から18へ：6 × 3 = 18
• 18から54へ：18 × 3 = 54

毎回「3倍」になっていますね。この「3」を「公比」と呼び、通常 \(r\) という文字で表します。

最初の数を \(a\) とすると、等比数列は次のように表せます：

第1項：\(a\) = 2
第2項：\(a \times r\) = 2 × 3 = 6
第3項：\(a \times r^2\) = 2 × 9 = 18
第4項：\(a \times r^3\) = 2 × 27 = 54

つまり、第 \(n\) 項は：\(a_n = a \times r^{n-1}\)

「足す」を数式で表す

最初の \(n\) 個の数を全部足したものを \(S_n\) と呼びます（\(S\) は「Sum＝合計」の頭文字）。

小学生の例：100 + 200 + 400 + 800 + ... + 51,200

数式で表すと：

$$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1}$$

「r倍のトリック」で計算を簡単に

ここからが大事な工夫です。式全体に \(r\) を掛けてから、元の式から引きます。

式(1)：\(S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1}\)

式(2)：\(rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots + ar^n\)

式(1)から式(2)を引くと、中間の項がすべて消えます（これを「テレスコープ」と呼びます）：

$$S_n - rS_n = a - ar^n$$ $$\left(1 - r\right)S_n = a\left(1 - r^n\right)$$

\(r \neq 1\) のとき、両辺を \((1 - r)\) で割ると：

$$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$

これが「等比数列の和の公式」です。この公式の最大の工夫は、「r倍して、元の式から引く」というシンプルな技法です。このため、多くの項が相殺され、最初と最後の項だけが残るのです。

実際に試してみよう

小学生の例：100, 200, 400, 800... を10項足した合計

ここで \(a = 100, r = 2, n = 10\)

$$S_{10} = \frac{100(1 - 2^{10})}{1 - 2} = \frac{100(1 - 1024)}{-1} = \frac{-102,300}{-1} = 102,300$$

さっき地道に足した 102,300円と同じ答えが、公式で瞬時に出ました！

練習問題：2, 6, 18, 54... の最初の5項の合計

\(a = 2, r = 3, n = 5\) を代入すると：

$$S_5 = \frac{2(1 - 3^5)}{1 - 3} = \frac{2(1 - 243)}{-2} = \frac{-484}{-2} = 242$$

検算：2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242 ✓

3. 高校生向け：公式の厳密な証明

等比数列の定義と第n項の公式

等比数列 \(\{a_n\}\) とは、隣接する2項の比が常に一定である数列である。この一定の比を公比 \(r\) と呼ぶ。

$$a_n = a \cdot r^{n-1}$$

これは以下の漸化式を満たす：\(a_n = r \cdot a_{n-1}\)

和の公式の導出（r ≠ 1）

等比数列の最初の \(n\) 項の和を \(S_n\) とする：

$$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1} \quad \cdots (1)$$

式(1)の両辺に \(r\) を掛けると：

$$rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots + ar^n \quad \cdots (2)$$

(1) − (2) を計算すると、大多数の項が相殺される（テレスコーピング）：

$$S_n - rS_n = a - ar^n = a(1 - r^n)$$ $$(1 - r)S_n = a(1 - r^n)$$

\(r \neq 1\) のとき、両辺を \((1 - r)\) で除して：

$$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$

別表現として、分子・分母に −1 を掛けると：

$$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$

これらは形式上異なるが、数学的に同一である。通常、\(r > 1\) のときは後者を用い、\(r < 1\) のときは前者を用いる。

無限等比級数（|r| < 1）

項数 \(n\) を無限大に取った場合の和を考える：

$$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$

\(|r| < 1\) のとき、\(\lim_{n \to \infty} r^n = 0\) であるから：

$$S = \frac{a}{1 - r} \quad (|r| < 1)$$

例：\(a = 1, r = 0.5\) の場合、\(S = \frac{1}{0.5} = 2\)。実際に \(1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + \cdots\) は2に収束する。

一方、\(|r| \geq 1\) のとき、級数は発散する。この級数の収束性は、複素解析やフーリエ解析など、高度な数学分野で重要な役割を果たす。

実用的応用と関連分野

等比数列の和の公式は、以下の分野で本質的な役割を果たす：金融数学における複利計算と年金現価計算、確率論における幾何分布と期待値計算、解析学におけるべき級数とフーリエ級数、物理学における減衰振動と放射性崩壊、コンピュータ科学におけるアルゴリズムの複雑性分析。

4. 実生活での応用

複利計算

初期投資 \(P\) 円、年利率 \(r\)、年数 \(n\) のとき、1年ごとの資産額は公比 \((1 + r)\) の等比数列をなす。毎年一定額を投資し続ける場合の総資産は、等比数列の和の公式で計算される。

感染症の拡大モデル

基本再生産数が \(R_0\) のとき、各世代の感染者数は \(N_0 R_0^n\) となり、等比数列を形成する。初期段階で治療による除外を考慮しない場合、総感染者数は等比級数で表される。この数学的理解は、公衆衛生政策の策定に不可欠である。

放射性物質の減衰

半減期を \(T\) とすると、時間 \(t\) 後の残存量は \(N(t) = N_0 \times (0.5)^{t/T}\)。一定間隔での測定値は公比 \((0.5)^{\Delta t/T}\) の等比数列となり、環境科学や考古学における年代測定に応用される。

ウイルスマーケティング

1人が平均 \(k\) 人にシェアする場合、\(n\) 世代後のリーチ数は \(N_0 k^n\)。初期投稿から \(n\) 世代までの総リーチは等比級数で計算され、ソーシャルメディア戦略の設計に用いられる。