問題の定義と直感的理解の誤り

モンティ・ホール問題の設定

問題は以下のように定式化されます：

直感的理解の誤り

多くの人は以下のように考えます：

「ドアBがハズレと判明した後、残るはドアAとドアCの2つ。どちらかが当たりなので、確率は1/2ずつ。変更してもしなくても同じではないか？」

この推論は一見合理的に見えますが、重大な見落としがあります。それは、司会者がハズレのドアを選んで開けたという事実です。

歴史的背景

この問題は、1970年代のアメリカのゲームショー「Let's Make a Deal」の司会者モンティ・ホールにちなんで名付けられました。1990年、数学者マリリン・ボス・サバントが雑誌「パレード」で「選択を変更すべき」と解答したところ、多くの読者（大学教授を含む）から反論が殺到しました。

しかし、数学的には「選択を変更すると当選確率が2倍になる」ことが証明されています。

条件付き確率による厳密な証明

全事象の整理

まず、すべての可能性を整理します。賞品がドアAにあると仮定します（他のケースも同様）。

条件付き確率による解析

より厳密に、条件付き確率を用いて証明します。

参加者がドアAを選択したとします。賞品がドアCにある確率を求めます。

司会者がドアBを開けてハズレを見せた後、ドアCに賞品がある条件付き確率は：

各項を計算します：

したがって：

同様に、最初に選んだドアAに賞品がある確率は：

なぜ直感と異なるのか

直感的には「2つのドアが残っているから確率は1/2ずつ」と考えてしまいますが、これは司会者の行動に含まれる情報を無視しているためです。

司会者は以下の重要な情報を提供しています：

• 参加者が最初に選んだドアがハズレなら、司会者は必ず賞品があるドアを避けてもう一方のハズレを開ける
• 参加者が最初に選んだドアが当たりなら、司会者はどちらのハズレを開けてもよい

この非対称性により、最初に選ばなかったドアの確率が2/3に上昇するのです。

実験的検証と実生活への応用

シミュレーションによる検証

モンティ・ホール問題は、コンピュータシミュレーションで容易に検証できます。

試行回数を増やすほど、理論値（1/3と2/3）に収束していきます。

直感的な理解の方法

モンティ・ホール問題を直感的に理解するには、ドアの数を増やして考えると効果的です。

この例では、選択を変更すべきことが直感的に明らかです。司会者は「賞品がある可能性が高いドア」を意図的に残しているからです。

実生活への応用

モンティ・ホール問題の本質は、「新しい情報が得られた時、それをどう解釈すべきか」という問題です。

心理学的洞察

モンティ・ホール問題が多くの人に反直感的である理由は、以下の認知バイアスによります：

結論

モンティ・ホール問題は、確率論における条件付き確率の重要性を示す古典的な例です。人間の直感は、新しい情報がもたらす確率の変化を正しく評価できないことがあります。

数学的に厳密な分析により、選択を変更すると当選確率が1/3から2/3に上昇することが証明されます。この結果は、ベイズの定理による条件付き確率の計算と完全に一致します。

重要なのは、「新しい情報を得た時、それが確率にどう影響するかを正しく評価する」ことです。この能力は、日常生活における意思決定、医療診断、科学的推論など、幅広い場面で有用です。