期待値とは何か？

期待値の基本的な考え方

期待値とは、確率を考慮した「平均的な結果」を表す数値です。数学的には次のように定義されます。

式で表すと：$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$$

シンプルな例：サイコロを振る

サイコロを1回振ったときの出る目の期待値を計算してみましょう。

各目が出る確率はそれぞれ $\frac{1}{6}$ なので：

$$E = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6}$$

$$E = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$$

期待値3.5という結果は「実際には出ない目」ですが、何度も繰り返したときの平均的な値を表しています。これが期待値の本質です。

保険の意思決定

医療保険に入るべきか？

具体的な数値例で考えてみましょう。

保険に加入した場合の期待値：

$$E = 0.05 \times 47 + 0.95 \times (-3) = 2.35 - 2.85 = -0.5 \text{万円}$$

延長保証は得か？

10万円の家電製品に5,000円の延長保証をつけるべきか考えてみましょう。

$$E = 0.1 \times 30,000 + 0.9 \times 0 - 5,000 = 3,000 - 5,000 = -2,000\text{円}$$

期待値で見ると2,000円の損失ですが、3万円の突然の出費を避けたい場合は加入する価値があるかもしれません。

投資の判断

リスクとリターンの関係

投資商品Aと商品Bを比較してみましょう。

投資Aの期待値：

$$E_A = 0.8 \times 5 + 0.2 \times (-2) = 4 - 0.4 = 3.6\%$$

投資Bの期待値：

$$E_B = 0.4 \times 20 + 0.6 \times (-10) = 8 - 6 = 2\%$$

投資Aの方が期待値は高いですが、投資Bは成功時のリターンが大きいため、リスクを取れる人には魅力的かもしれません。期待値だけでなく、最悪のケース（-10%）も考慮する必要があります。

「確実な3%」vs「50%の確率で10%」

100万円の投資で2つの選択肢があります。

選択肢Bの期待値：

$$E_B = 0.5 \times 100,000 + 0.5 \times 0 = 50,000\text{円}$$

期待値では選択肢B（5万円）の方が有利ですが、確実性を重視するなら選択肢A（3万円）を選ぶ人も多いでしょう。これは「リスク回避傾向」と呼ばれる心理です。

日常の選択と期待値思考

傘を持つべきか？

降水確率30%の日、傘を持つべきでしょうか？

$$E_{\text{持つ}} = 0.3 \times (-5) + 0.7 \times (-5) = -5$$

$$E_{\text{持たない}} = 0.3 \times (-50) + 0.7 \times 0 = -15$$

期待値で見ると、傘を持つ方が損失が小さいため、降水確率30%でも傘を持つのが合理的という結論になります。

複数ルートの選択

会社に行くのに2つのルートがあります。

ルートAの期待時間：

$$E_A = 0.8 \times 30 + 0.2 \times 50 = 24 + 10 = 34\text{分}$$

ルートBの期待時間：

$$E_B = 40\text{分}$$

期待値ではルートAが有利ですが、遅刻できない重要な日にはルートB（確実性）を選ぶべきかもしれません。

期待値思考の実践

期待値思考は「正解を出す魔法」ではありません。しかし、感覚だけでなく数字で考えることで、より客観的で納得のいく意思決定ができるようになります。

まとめ

期待値という数学的な考え方は、保険、投資、日常の小さな選択まで、あらゆる意思決定に応用できます。重要なのは、期待値だけでなく「最悪のケース」「確実性の価値」「自分のリスク許容度」も考慮することです。

完全に数字だけで割り切れない部分もありますが、期待値を知った上で判断することで、より合理的で後悔の少ない選択ができるでしょう。この考え方が皆さんの日常の意思決定に役立てば幸いです。