第1章：材料力学の歴史と巨人たち

私たちが普段使っている公式や理論は、数世紀にわたる天才たちの知恵の結晶です。彼らの物語を知ることで、無機質な数式に血が通い始めます。

第2章：応力とひずみの基礎理論

材料力学の言語である「応力」と「ひずみ」。これらを深く理解することが、すべての出発点です。

1. 応力 (Stress) の定義

応力とは、物体内部の仮想的な断面に作用する「単位面積あたりの内力」です。記号は通常 $\sigma$ (シグマ) や $\tau$ (タウ) が使われます。

ここで重要なのは、応力が「点」で定義される量でありながら、方向性を持つ「テンソル」量であるということです。

• 垂直応力 ($\sigma$): 面に対して垂直に引っ張る（正）、または圧縮する（負）成分。
• せん断応力 ($\tau$): 面に沿って滑らせるように働く成分。

2. ひずみ (Strain) の定義

ひずみは、変形の度合いを表す無次元量です。

工学的には元の長さを基準にする「公称ひずみ（Engineering Strain）」がよく使われますが、大変形を扱う場合は、刻一刻と変化する長さを基準にする「真ひずみ（True Strain）」が必要になります。

3. フックの法則の一般化

1次元のバネであれば $F=kx$ ですが、3次元の弾性体では、応力とひずみの関係はより複雑になります。等方性材料の場合、以下の一般化されたフックの法則が成り立ちます。

ここで、$E$ はヤング率、$\nu$ (ニュー) はポアソン比です。この式は、「ある方向（x）に引っ張ると、その方向には伸びるが、他の方向（y, z）からは縮もうとする影響を受ける」という物理現象を数学的に表現しています。

4. ポアソン比 (Poisson's Ratio)

ポアソン比 $\nu$ は、縦ひずみに対する横ひずみの比の絶対値です。

多くの金属材料では 0.3 付近の値をとります。ゴムのような非圧縮性材料では 0.5 に近づき、これは体積が変化しないことを意味します。コルクなどは 0 に近く、押しても横に広がらない特殊な性質を持ちます。

第3章：材料特性と試験法

理論的な概念である応力（$\sigma$）やひずみ（$\epsilon$）が、実際の物質（鉄、アルミ、樹脂など）においてどのような挙動を示すのか。それを明らかにし、設計に必要な数値データを取得するのが材料試験の役割です。

1. 引張試験と応力-ひずみ曲線 (S-S Curve)

材料の特性を知る最も基本的な試験です。試験片を破断するまで引っ張り、その時の応力とひずみをプロットします。

典型的な軟鋼の挙動

1. 弾性域: 原点から比例限度まで。フックの法則が成立。
2. 降伏点: 上降伏点で急激に応力が下がり、下降伏点でギザギザと変形が進む（降伏棚）。
3. ひずみ硬化: 塑性変形が進むにつれて、材料内部の転位が絡み合い、再び硬くなる。
4. 最大応力点（引張強さ）: 耐えられる最大の応力。
5. ネッキング: 局所的に細くくびれ始める。
6. 破断: ちぎれる。

2. 主要材料の比較

3. 真応力と真ひずみ

通常の設計では、変形前の断面積で計算する「公称応力」を使いますが、大変形を伴う加工（プレス成形など）のシミュレーションでは、変形中の実際の断面積を用いる「真応力」が必須となります。真応力は、破断直前まで上昇し続けます（公称応力は見かけ上低下するように見える）。

第4章：梁（はり）の曲げとたわみ

建築物や機械構造の基本要素である「梁」。その曲げ挙動を理解することは、設計者の必須スキルです。

1. SFDとBMD

梁のどの位置にどれだけの力がかかっているかを可視化するのが、せん断力図 (SFD) と曲げモーメント図 (BMD) です。

• SFD (Shear Force Diagram): 梁を切断しようとする力の分布。
• BMD (Bending Moment Diagram): 梁を曲げようとするモーメントの分布。

重要な関係式として、荷重強度 $q$、せん断力 $Q$、曲げモーメント $M$ の間には以下の微分関係があります。

つまり、BMDの傾きはSFDの値になり、SFDの傾きは荷重強度になります。

2. 曲げ応力の公式

梁が曲がるとき、上側は縮み、下側は伸びます（あるいはその逆）。中心には長さが変わらない「中立軸」が存在します。中立軸からの距離を $y$ とすると、曲げ応力 $\sigma$ は以下の式で表されます。

ここで $I$ は断面二次モーメントです。この式は、「応力はモーメント $M$ に比例し、中立軸からの距離 $y$ に比例し、断面の性能 $I$ に反比例する」ことを示しています。つまり、梁の表面（$y$が最大）で応力は最大になります。

3. 断面二次モーメント (Second Moment of Area)

「曲げにくさ」を表す幾何学的な値です。材質には依存せず、形だけで決まります。

• 長方形断面 (幅b, 高さh): $$ I = \frac{bh^3}{12} $$
• 円形断面 (直径d): $$ I = \frac{\pi d^4}{64} $$

高さ $h$ が3乗で効いてくる点に注目してください。板を平らに置くより、立てて置いた方が圧倒的に強くなる理由はこれです。

4. たわみの微分方程式

梁の変形量（たわみ $v$）を求めるための支配方程式です。

この式を境界条件（固定端なら変位と角度が0、支持点なら変位が0など）の下で2回積分することで、たわみの式が得られます。

有名な公式（片持ち梁・先端集中荷重P）:

第5章：軸のねじり

モーターの軸やプロペラシャフトなど、回転力を伝える部材にかかる負荷です。

1. ねじり応力の公式

円形断面の棒をトルク $T$ でねじるとき、表面に発生する最大せん断応力 $\tau_{max}$ は以下の通りです。

ここで $r$ は半径、$J$ は断面二次極モーメントです。

2. 断面二次極モーメント (Polar Moment of Inertia)

ねじりにくさを表す指標です。

• 中実円形断面 (直径d): $$ J = \frac{\pi d^4}{32} $$
• 中空円形断面 (外径d2, 内径d1): $$ J = \frac{\pi (d_2^4 - d_1^4)}{32} $$

中空のパイプが軽量の割にねじりに強いのは、中心付近の材料（ねじりにあまり寄与しない部分）を取り除いているため、効率が良いからです。

第6章：破壊理論と降伏条件

「いつ壊れるか？」を予測するための理論です。単純な引張試験の結果を、複雑な応力状態にどう適用するかという問題です。

1. 脆性材料と延性材料の破壊モード

• 脆性材料（鋳鉄、ガラス、コンクリート）: 最大主応力（引っ張る力）が限界を超えたときに、パキッと割れます。
• 延性材料（軟鋼、アルミ、銅）: せん断応力（ずれる力）によって結晶が滑り、降伏します。

2. 主な降伏条件説

最大主応力説 (Rankine)

最も大きな引張応力が、材料の引張強度に達したら破壊すると考えます。脆性材料に適しています。

最大せん断応力説 (Tresca)

最大せん断応力が限界値に達したら降伏すると考えます。延性材料に対して安全側の評価を与えます。降伏曲面は六角柱になります。

せん断ひずみエネルギー説 (Von Mises)

現代のCAEで最も標準的に使われる理論です。材料に蓄えられる「形を歪ませるエネルギー」が限界に達した時を降伏とします。実験結果との適合性が非常に高く、延性材料の設計におけるデファクトスタンダードです。

この「ミーゼス応力」というスカラー量一つを見れば、複雑な3次元応力状態にある部品が降伏するかどうかを判定できるため、非常に便利です。

第7章：高度な力学現象（疲労・座屈・熱）

静的な荷重で壊れなくても、現実はもっと過酷です。

1. 疲労 (Fatigue)

「針金をクネクネ曲げていると折れる」現象です。降伏点よりはるかに低い応力であっても、繰り返し力が加わることで微細な亀裂が進展し、最終的に破壊に至ります。

• S-N曲線: 応力振幅(S)と破断までの回数(N)の関係図。
• 疲労限度: 鉄鋼材料などに見られる、無限回繰り返しても壊れない応力レベル。

ジェットコースターの車軸やエンジンのコンロッドなど、動く機械の破壊原因の8割は疲労と言われています。

2. クリープ (Creep)

高温環境下（融点の半分程度以上）では、一定の荷重であっても時間が経つにつれて変形が増大します。ガスタービンのブレードや原子力発電所の配管などで重要になる現象です。

3. 座屈 (Buckling)

圧縮を受ける細長い部材が、材料の圧縮強度に達する前に横に逃げてしまう現象。オイラーの座屈荷重 $P_{cr}$ は以下の通り。

長さ $L$ の2乗に反比例するため、柱が2倍長くなると、耐えられる力は1/4になってしまいます。

4. 応力集中 (Stress Concentration)

穴や切り欠き（ノッチ）があると、その周辺の流線が乱れ、局所的に非常に高い応力が発生します。これを応力集中係数 $K_t$ で表します。丸穴のある無限板を引っ張ると、穴の縁には平均応力の3倍の応力が発生することは有名です。

第8章：計算力学（FEM）への招待

手計算で解けるのは単純な形状だけです。自動車のボディやスマートフォンの筐体など、複雑な形状の解析にはコンピュータの力が不可欠です。

有限要素法 (Finite Element Method) とは

連続体である物体を、有限個の小さな「要素（Element）」と「節点（Node）」に分割（メッシュ化）し、それぞれの要素の挙動を連立方程式として解く手法です。

解析のプロセス

1. プリプロセス: 3D CADモデルの読み込み、メッシュ作成、材料定義、境界条件（固定・荷重）の設定。
2. ソルバー実行: 剛性マトリクス $[K]$ を作成し、方程式 $\{F\} = [K]\{u\}$ を解いて変位 $\{u\}$ を求める。
3. ポストプロセス: 得られた変位からひずみ、応力を計算し、カラーコンター図として可視化する。

現代の設計者にとって、FEMは「魔法の箱」ではなく、理論に基づいた「道具」として使いこなす必要があります。メッシュの細かさや境界条件の妥当性を判断するには、これまで解説してきた材料力学の基礎知識が不可欠なのです。

第9章：実践！強度計算シミュレーション

最後に、具体的な数字を使って計算してみましょう。

付録：重要用語クイックインデックス

復習用に、重要用語を一言でまとめました。