第2章 関係モデルの基礎

1. 集合論との関係

1.1 集合と要素

関係モデルを理解するには、まず集合論の基本概念を押さえる必要がある。集合（Set）とは、明確に定義された対象の集まりである。集合に属する個々の対象を要素（Element）と呼ぶ。

Table 1. 集合論の基本用語

1.2 直積と関係

関係モデルの「関係（Relation）」は、集合論における直積（Cartesian Product）の部分集合として定義される。

直積：2つの集合A, Bの直積 A × B は、Aの各要素とBの各要素の組み合わせ（順序対）の集合である。

-- 例：A = {a, b}, B = {1, 2} のとき
-- A × B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)}

-- データベースでの例
-- 顧客集合 = {田中, 鈴木}
-- 商品集合 = {りんご, みかん}
-- 直積 = {(田中,りんご), (田中,みかん), (鈴木,りんご), (鈴木,みかん)}

関係（Relation）：直積の部分集合を関係と呼ぶ。実際のデータベースでは、直積のすべての組み合わせではなく、意味のある組み合わせのみを格納する。これが「リレーション」である。

2. リレーションの構成要素

2.1 属性とドメイン

リレーションを構成する基本要素を以下に示す。

Table 2. リレーションの構成要素

ドメインは、属性が取りうる値の集合を定義する。例えば「年齢」属性のドメインは「0以上150以下の整数」、「性別」属性のドメインは「{男, 女, その他}」のように定義される。

-- ドメインの例（SQLでの表現）
CREATE TABLE employees (
    id INTEGER,              -- ドメイン: 整数
    name VARCHAR(100),       -- ドメイン: 100文字以下の文字列
    age INTEGER CHECK (age >= 0 AND age <= 150),  -- ドメイン: 0-150の整数
    gender CHAR(1) CHECK (gender IN ('M', 'F', 'O'))  -- ドメイン: M, F, O
);

2.2 タプルとリレーション

タプルは、各属性に対する値の組である。リレーションは、同じ構造を持つタプルの集合である。

Table 3. リレーションの例（社員テーブル）

上記テーブルの場合、次数（Degree）= 4（属性が4つ）、濃度（Cardinality）= 3（タプルが3つ）である。

3. 関係代数

関係代数（Relational Algebra）は、リレーションに対する操作を定義する代数系である。SQLの理論的基盤となっており、データベースのクエリ最適化にも使用される。

Fig. 1. 関係代数の基本操作

3.1 選択・射影・結合

関係代数の主要な操作を以下に示す。

Table 4. 関係代数の基本操作

選択（Selection）：条件を満たすタプル（行）を抽出する操作。

-- 関係代数: σ[部署='営業'](社員)
-- SQL:
SELECT * FROM employees WHERE department = '営業';

-- 結果: 部署が'営業'の社員のみが抽出される

射影（Projection）：指定した属性（列）のみを抽出する操作。

-- 関係代数: π[氏名, 給与](社員)
-- SQL:
SELECT name, salary FROM employees;

-- 結果: 氏名と給与の列のみが抽出される

結合（Join）：2つのリレーションを共通の属性で結合する操作。

-- 関係代数: 社員 ⋈[部署ID=部署.ID] 部署
-- SQL:
SELECT * FROM employees e
JOIN departments d ON e.department_id = d.id;

-- 結果: 社員と部署の情報が結合される

Table 5. 結合の種類

4. まとめ

本章で解説した概念を整理する。

Table 6. 第2章のまとめ