反応拡散系

反応拡散系とは

1952年、イギリスの数学者アラン・チューリングは「形態形成の化学的基礎」という画期的な論文を発表しました。この中で彼は、2種類の仮想的な化学物質（モルフォゲン）が互いに反応し、組織内を異なる速度で拡散するだけで、均一な状態から自発的に安定した空間パターン（縞模様や斑点など）が形成されうることを数学的に示しました。この現象は「チューリング不安定性」と呼ばれ、生成されるパターンは「チューリングパターン」として知られています。これは、生物の発生過程における複雑な模様形成のメカニズムを理解する上で、基礎的な数理モデルの一つとなっています。

Gray-Scottモデル

このシミュレーションでは、反応拡散系の中でも特に多様なパターンを生成することで知られる「Gray-Scottモデル」を使用しています。これは、2つの化学物質 U (基質) と V (生成物、または活性化因子) の濃度変化を記述する、以下の連立偏微分方程式系です。

∂U/∂t = D_u∇²U - UV² + F(1-U)
∂V/∂t = D_v∇²V + UV² - (F+k)V

ここで、D_u と D_v はそれぞれ物質UとVの拡散係数、∇² はラプラシアン（空間的な拡散を表す）、 F は物質Uの供給率 (Feed rate)、k は物質Vの除去率 (Kill rate) を表すパラメータです。 UV² は自己触媒的な反応項で、VがUを消費してV自身を増やすことを意味します。 F(1-U) はUの供給、-(F+k)V はVの除去を表します。 Fとkの値をわずかに変えるだけで、斑点、縞模様、迷路、進行波、ソリトン様構造など、驚くほど多様なパターンが創発します。

操作方法

キャンバス上をクリック＆ドラッグ：領域に化学物質Vを初期配置（"種まき"）
リセットボタン：シミュレーションを初期状態に戻す
プリセットボタン：特定のFとkの値の組み合わせを適用し、代表的なパターンを生成
Feed/Killスライダー：Fとkの値をリアルタイムで微調整し、パターンの変化を観察
カラーモード：物質Vの濃度を異なる配色で視覚化
速度スライダー：1フレームあたりの計算ステップ数を調整（見た目の進行速度）

自然界のチューリングパターンに似た例

シマウマの縞

発生初期の皮膚における色素細胞の活性化・抑制物質の反応拡散と考えられています。

ヒョウの斑点

縞模様と同様のメカニズムで、パラメータの違いにより斑点状のパターンが形成されます。

フグや熱帯魚の模様

一部の魚類の体表に見られる複雑で美しい模様も、反応拡散系で説明できる場合があります。

貝殻の模様

貝の成長縁で分泌される色素のパターンが、時間経過とともに貝殻表面に記録されたものです。

プリセットパターン