フーリエ変換の特性を理解する

任意の形を「円の重ね合わせ」で表現するフーリエ変換。星形などの鋭い角がなぜ丸くなるのか、ギブス現象を視覚的に体験できます。

なぜ星が丸くなるのか?
フーリエ変換は、任意の形を「円の重ね合わせ」で表現します。 鋭い角を持つ形(星形のような)を再現するには、理論上「無限個」の円が必要です。 有限個の円しか使えない場合、高周波成分が不足し、角が丸くなってしまいます。 これは「ギブス現象」と呼ばれる数学的に正しい現象です。

理想の星形(直線)

フーリエ変換による再現

使用する円の数: 20
アニメーション速度: 1.0
観察ポイント:
• 円の数が少ない(5〜10個)→ 大まかな形のみ再現、非常に丸い
• 円の数が中程度(20〜40個)→ 基本的な星形は見えるが、角は丸い
• 円の数が多い(50〜100個)→ より鋭い角に近づくが、完全ではない
• 理論的には無限個必要 → 完全に鋭い角の再現

フーリエ変換の数学的原理

フーリエ変換は、18世紀の数学者ジョゼフ・フーリエが発明した数学的手法です。 任意の関数や形状を、「正弦波(サイン波)と余弦波(コサイン波)の組み合わせ」で表現できるという驚くべき定理です。

f(x) = a0 + ∑n=1 [ancos(nx) + bnsin(nx)]
(任意の関数は正弦波と余弦波の無限級数で表現できる)

このデモでは、「回転する円」で表現しています。実は、回転する円は正弦波と余弦波の組み合わせと数学的に同じです。 これはオイラーの公式によって説明できます:

e = cos(θ) + i·sin(θ)
(複素数の回転 = コサイン + i×サイン)

離散フーリエ変換(DFT)の仕組み

コンピュータで計算するために、無限級数を有限個の項で近似します。 星形の各点を500個のサンプル点で表し、それらを以下の公式で分析します:

X[k] = ∑n=0N-1 x[n] · e-2πikn/N
(k番目の周波数成分を計算)

この公式で、星形の各点が「どの周波数の円がどの程度必要か」を計算します。 結果として、各円の「半径(振幅)」と「初期位相(スタート位置)」が求まります。

ギブス現象の科学的説明

1898年にアメリカの物理学者ジョシア・ギブスが発見した現象です。 不連続な関数(角や段差を持つ形)をフーリエ級数で近似すると、 不連続点の近くで約9%の誤差が生じ、これは項数を増やしても決してなくなりません。

なぜ角が丸くなるのか?
サイン波とコサイン波は、どんなに組み合わせても滑らかな曲線しか作れません。 鋭い角を作るには、高周波成分(細かい波)が無限に必要です。 有限個の円では、この高周波成分が不足し、結果として角が丸くなります。

実生活でのフーリエ変換

フーリエ変換は、私たちの身の回りで幅広く使われています:

計算の複雑さ

このデモでは、500個のサンプル点で100個の周波数成分を計算しています。 これは約500×100 = 50,000回の複素数計算に相当します。 現実の音声処理では、毎秒44,100個のサンプルを処理します!

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