任意の形を「円の重ね合わせ」で表現するフーリエ変換。星形などの鋭い角がなぜ丸くなるのか、ギブス現象を視覚的に体験できます。
フーリエ変換は、18世紀の数学者ジョゼフ・フーリエが発明した数学的手法です。 任意の関数や形状を、「正弦波(サイン波)と余弦波(コサイン波)の組み合わせ」で表現できるという驚くべき定理です。
このデモでは、「回転する円」で表現しています。実は、回転する円は正弦波と余弦波の組み合わせと数学的に同じです。 これはオイラーの公式によって説明できます:
コンピュータで計算するために、無限級数を有限個の項で近似します。 星形の各点を500個のサンプル点で表し、それらを以下の公式で分析します:
この公式で、星形の各点が「どの周波数の円がどの程度必要か」を計算します。 結果として、各円の「半径(振幅)」と「初期位相(スタート位置)」が求まります。
1898年にアメリカの物理学者ジョシア・ギブスが発見した現象です。 不連続な関数(角や段差を持つ形)をフーリエ級数で近似すると、 不連続点の近くで約9%の誤差が生じ、これは項数を増やしても決してなくなりません。
なぜ角が丸くなるのか?
サイン波とコサイン波は、どんなに組み合わせても滑らかな曲線しか作れません。
鋭い角を作るには、高周波成分(細かい波)が無限に必要です。
有限個の円では、この高周波成分が不足し、結果として角が丸くなります。
フーリエ変換は、私たちの身の回りで幅広く使われています:
このデモでは、500個のサンプル点で100個の周波数成分を計算しています。 これは約500×100 = 50,000回の複素数計算に相当します。 現実の音声処理では、毎秒44,100個のサンプルを処理します!
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